Il est parfois utile de pouvoir réaliser quelques calculs simples de résistance des matériaux. Voici quelques fichiers excel sans aucune garantie qui peuvent rendre ce service.
Le document "Théorie des poutres en RDM" (voir ici) fournit les justificatifs mathématiques et les démonstrations des formules utilisées dans ces fichiers.
Les couleurs des cellules des fichiers de calculs suivent la convention suivante : les données à saisir par l'utilisateur se trouvent dans des cellules de couleur bleues et les résultats dans des cellules de couleurs jaunes.
L'unité de force employée est le daN et l'unité de contrainte (pression) est le daN/mm2. Pour rappel :
- 1 daN ~ 1 kgf (kilogramme force)
- 1 N/mm2 = 1 MPa = 106 Pa (Pascal)
On utilise parfois le GPa pour le module de Young et le MPa pour les contraintes. On a les relations suivantes :
- 1 GPa = 100 daN/mm2
- 1 MPa = 0.1 daN/mm2
1) Caractéristiques Matériaux :
Le fichier Materiaux.xls fournit les caractéristiques de plusieurs matériaux couramment utilisés en aéronautique. On y trouve les renseignements suivants :- σ élastique en daN/mm2 : il s'agit de la contrainte maximum que peut admettre le matériau avant sa déformation permanente.
- σ rupture en daN/mm2 : contrainte qui provoque la rupture du matériau.
- Densité : rapport de la masse volumique du matériau à celle de l'eau prise égale à 1 kg/dm3. Cette caractéristique permet de calculer la masse linéique d'une forme donnée.
- Module de Young E en daN/mm2.
- Coefficient de Poisson.
Le module de Young et le coefficient de Poisson ne sont utiles que pour calculer la déformée de la poutre et n'interviennent pas dans le calcul de la contrainte.
Le module de Young est le rapport direct entre la contrainte en traction et la déformation qui en résulte. Autrement dit plus le module de Young est important plus le matériaux est rigide.
Le bois est le matériaux le moins rigide. Vient ensuite dans l'ordre, le composite fibre de verre époxy, l'aluminium et enfin l'acier et le composite carbone époxy.
L'acier est trois fois plus rigide que l'aluminium. L'aluminium est deux fois plus rigide que la fibre de verre époxy. L'acier et le composite carbone époxy ont quasiment la même rigidité.
Le composite carbone époxy est environ 5 fois plus léger que l'acier et 2 fois plus résistant.
Le coefficient de Poisson caractérise la contraction de matière perpendiculairement à la direction de l'effort. Ce coefficient n'intervient que pour le calcul de la déformation due à l'effort tranchant. Dans le cas de poutres homogènes, la déformée due à l'effort tranchant est la plupart du temps négligeable, on pourra alors ne pas saisir ce coefficient. Il entre par contre en jeu dans le cas de poutre sandwich.
2) Calcul moments quadratiques :
Le fichier Moments.xls permet, à partir de la description de la section de la poutre, de calculer sa surface et son moment quadratique ainsi que la côte de la fibre externe. Ce fichier comporte trois parties distinctes :2.1) Poutres rondes :
Cette partie concerne, comme son nom l'indique, les poutres à section ronde pleine ou creuse. L'utilisateur renseigne :- Le diamètre extérieur du tube (D),
- Son épaisseur (e). Si l'épaisseur vaut la moitié du diamètre, on a à faire à une poutre pleine,
- Sa densité.
A partir de ces renseignements le logiciel fournit :
- Le diamètre intérieur et la masse linéique de la poutre,
- La surface et le moment quadratique de la section ainsi que la côte de la fibre externe.
2.2) Calcul Poutres Rectangulaires :
Il s'agit du module équivalent mais traitant des poutres à section rectangulaires. Cette fois l'utilisateur renseigne :- La hauteur et la largeur extérieure du rectangle formant la poutre,
- La hauteur et la largeur intérieure de ce même rectangle. Ces deux dernière valeurs sont misent à zéro pour une poutre pleine.
Le logiciel fournit alors :
- La masse linéique de la poutre,
- La surface et le moment quadratique de la section ainsi que la côte de la fibre externe.
Remarque : la hauteur est la direction dans laquelle les forces sont appliquées dans le fichier "Calculs".
2.3 ) Structure sandwich :
Il s'agit de calculer les caractéristiques d'une structure formée d'une âme et de deux semelles de même épaisseur. L'utilisateur renseigne :- La largeur de la structure,
- La hauteur de l'âme et sa densité,
- L'épaisseur de chaque semelle et leur densité.
Le logiciel fournit alors :
- La hauteur totale et la masse linéique de la poutre,
- La surface et le moment quadratique de la section ainsi que la côte de la fibre externe.
3) Calcul RDM :
Les données résultat du fichier "Moments" sont reportées dans le fichier Calculs.xls qui, en fonction du chargement appliqué à la poutre, calcule sa déformée et les contraintes qu'elle subit.Deux cas sont possibles : S'il s'agit d'une poutre homogène, l'utilisateur renseigne uniquement les caractéristiques de l'âme et saisit des valeurs nulles pour les semelles. Les valeurs caractérisant l'âme sont le module de Young et le coefficient de Poisson du matériaux en question (voir tableau "Caractéristiques Matériaux") ainsi que les caractéristiques de la section précédemment calculée dans le fichier "Calcul moments quadratiques" (surface, moment quadratique et côte de la fibre neutre).
Dans le cas d'une structure sandwich, l'utilisateur doit en plus renseigner les caractéristiques des semelles. Dans un deuxième temps l'utilisateur choisit la configuration de la charge appliquée à la poutre parmi quatre disponibles : encastrement et appuis en deux points (cas 1 à 3). Pour chaque cas, en fonction de la charge appliquée et de la configuration des appuis ou encastrement, le logiciel fournit la déformée (flèche, rotation en un ou plusieurs points selon les cas) et la contrainte maximum subit par la poutre (âme et semelles).
4) Exemples
Les caractéristiques de la barre sont les suivantes : section rectangulaire, largeur 100 mm, hauteur 4 mm, longueur 500 mm, chargement 16 daN.
Les caractéristiques de la barre à savoir sa largeur, sa hauteur et sa densité (2,8 voir le fichier "Matériaux") sont saisies dans le tableur "Moments" (figure 1). Les hauteur et largeur intérieures sont mises à zéro puisqu'il s'agit d'une barre pleine. Le logiciel fournit alors la masse linéique de la barre (1,12 kg/m) ainsi que la surface de la section, le moment quadratique et la cote de la fibre externe.
Ces trois dernières valeurs sont recopiées dans le fichier "Calculs" à l'emplacement correspondant de l'âme. On saisi également le module de Young et le coefficient de Poisson du matériaux (respectivement 7500 daN/mm2 et 0.3). Les valeurs correspondants aux caractéristiques des semelles sont mises à zéro puisqu'il s'agit d'une poutre homogène (voir figure 2).
L'utilisateur choisit enfin le chargement correspondant à ce cas d'exemple, soit : "Appuie en deux points avec une seule charge". Il saisit alors la longueur de la barre (500 mm) la force appliquée (16 daN) et précise son point d'application (le milieu de la barre soit AC égale 250 mm, voir figure 3). Le logiciel fournit alors la flèche maximale au point milieu due au moment fléchissant (10.42 mm) et celle due à l'effort tranchant (0.002 mm). La flèche due à l'effort tranchant est négligeable. C'est généralement le cas pour les poutres homogènes.
Le calcul de la contrainte donne 7.5 daN/mm2. Celle-ci est largement inférieure à la contrainte admissible du 2017.
Exemple 2 : Soit à calculer la déformé dans les même conditions (largeur de la poutre 100 mm, longueur 500 mm, charge de 16 daN appliquée à son milieu) d'une structure sandwich formée d'une âme en polystyrène de 30 mm et de semelles en aluminium 2017 de 2 mm.
Les caractéristiques de la poutre sandwich sont saisie dans le fichier "Moments" (figure 4). La masse linéique de cette poutre est de 1.225 kg/m soit une différence de 105 gr/m.
Le données calculées concernant l'âme sont recopiés dans le fichier "Calculs" à l'emplacement correspondant ainsi que les données concernant les semelles (voir figure 5). L'âme est en polystyrène (module de Young 2 daN/mm2 et coefficient de poisson 0.3), les semelles sont en 2017 (module de Young 7500 daN/mm2).
Le logiciel fournit alors la flèche pour le chargement "Appuie en deux points avec une seule charge" pour une longueur de poutre de 500 mm chargée en son milieu par 16 daN (voir figure 6).
Cette fois la flèche prépondérante est celle qui résulte de l'effort tranchant (0.87 mm). Celle due au moment fléchissant est inférieure (0.054 mm). La flèche et la contrainte sont largement inférieure à celles de la poutre homogène (exemple 1)